Question

设函数f（x）=

x

x+2

（x＞0），定义f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，当n∈N⁺且n≥2时，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n为正整数），则f₃（x）=

 

；f_n（x）=

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：分别计算出f₁（x），f₂（x），f₃（x），…，分析不等式的构成，寻找规律，进行归纳．

解答： 解：∵函数f₁（x）=f(x)=

x

x+2

(x＞0)，n≥2时，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n为正整数），
∴f₂（x）=f（f₁（x））=

x x+2

x x+2 +2

=

x

3x+4

，
f₃（x）=f（f₂（x））=

x 3x+4

x 3x+4 +2

=

x

7x+8

，
同理可得f₄（x）=f（f₃（x））=

x

15x+16

…
所给的函数式的分子不变都是x，
而分母是由两部分的和组成，
第一部分的系数分别是1，3，7，15…2ⁿ-1，
第二部分的数分别是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

(2n-1)x+2n

，
故答案为：

x

7x+8

，

x

(2n-1)x+2n

．

点评：本题考查归纳推理，实际上可看作给出一个数列的前几项写出数列的通项公式．