Question

无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首项为10，公差为-2的等差数列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列（其中m≥3，m∈N^*），并且对于任意的n∈N^*，都有a_n+2m=a_n成立．若a51=

1

64

，则m的取值集合为

 

．记数列{a_n}的前n项和为S_n，则使得S_128m+5≥2013(m≥3

，

m∈N*)的m的取值集合为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意，a₅₁=

1

64

是等比数列中的项，求出项数n，根据a_n+2m=a_n成立知，数列为周期数列，周期为2m，求出m的值．
（2）由S_128m+5=64S_2m+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=64[10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

]+10+8+6+4+4，可得S_128m+5=704m-64m²+94-64•(

1

2

)m≥2013，设f（m）=704m-64m²，g（m）=1914+64•(

1

2

)m，则g（m）＞1914；f（m）=-64（m²-11m），在m=-5或6时取最大f（x）_max=f（-5）=f（6）=1920，所以存在这样的m=6使得S_128m+5≥2013(m≥3

，

m∈N*)．

解答： 解：（1）等差数列通项公式：a_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12，
等比数列通项公式：a_n=

1

2

•(

1

2

)n-m-1=(

1

2

)n-m，
由题意知a51=

1

64

是等比数列中的项，
在等比数列中，令(

1

2

)n-m=

1

64

，
解得n-m=6，n=m+6，
对一切正整数n，都有a_n+2m=a_n成立，a51=

1

64

，
∴m+6=51，或m+6+2m=51，或m+6+4m=51，
∴m=45，15或9，
即m的取值集合为 {45，15，9}．
（2）由S_128m+5=64S_2m+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=64[10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

]+10+8+6+4+4，
可得S_128m+5=704m-64m²+94-64•(

1

2

)m≥2013，
设f（m）=704m-64m²，g（m）=1914+64•(

1

2

)m，则g（m）＞1914；f（m）=-64（m²-11m），
存在m=-5或6时取最大f（x）_max=f（-5）=f（6）=1920，
所以存在这样的m=6，使得S_128m+5≥2013(m≥3

，

m∈N*)，
因此m的取值集合为{6}．
故答案为：{45，15，9}；{6}．

点评：本题主要考查了数列的概念，考查了等差、等比数列的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．