Question

设正四棱锥的侧棱长为3，则其体积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题

分析：设出正四棱锥的底面边长，求出正四棱锥的高，推出体积，利用基本不等式求出体积的最大值．

解答： 解：设正四棱锥的底面边长为a，AC=

2

a，OC=

2

2

a，
所以正四棱锥的高为：h=

9- 1 2 a2

．
所以正四棱锥的体积为：V=

1

3

a2

9- 1 2 a2

=

1

3

16× 1 4 a2× 1 4 a2(9- 1 2 a2)

=

4

3

1 4 a2× 1 4 a2×(9- 1 2 a2)

≤

4

3

( 1 4 a2+ 1 4 a2+9- 1 2 a2 3

)3=4

3

，
当且仅当

1

4

a2=9-

1

2

a2时，即a=2

3

等号成立，此时正四棱锥的体积最大．
故答案为：4

3

．

点评：本题考查正四棱锥的体积求法，不等式求最值的应用，考查计算能力．