Question

在平行四边形ABCD中，∠A=

π

3

，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

，则

AM

•

AN

的最大值是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

=k≥0，建立如图所示的坐标系．A（0，0），B（2，0），D(

1

2

，

3

2

)，C(

5

2

，

3

2

)，
由

BM

=k

BC

，

CN

=k

CD

，可得

AM

=

AB

+k

BC

=(2+

1

2

k，

3 k

2

)，同理可得

AN

=(

5

2

-2k，

3

2

)，再利用数量积运算性质和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：设

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

=k≥0，
建立如图所示的坐标系．
A（0，0），B（2，0），D(

1

2

，

3

2

)，C(

5

2

，

3

2

)，
由

BM

=k

BC

，

CN

=k

CD

，
可得

AM

=

AB

+k

BC

=(2+

1

2

k，

3 k

2

)，
同理可得

AN

=(

5

2

-2k，

3

2

)，
∴

AM

•

AN

=(2+

1

2

k)(

5

2

-2k)+

3k

4

=-k²-2k+5=-（k+1）²+6，
∵k≥0，∴

AM

•

AN

的最大值是5，当且仅当M、N与点C重合时取得最大值．
故选：D．

点评：本题考查了数量积运算性质和二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．