Question

已知数列{a_n}满足a_n=2n-1，设函数f（n）=

an，n为奇数 f( n 2 )，n为偶数

，c_n=f（2ⁿ+4），n∈N^*，数列{c_n}的前n项和T_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：T₁=c₁=a₃=2×3-1=5，c₂=a₁=3，n≥3时，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-2+1）-1=2^n-1+1，由此能求出T_n．

解答： 解：由题意知：
n=1时，T₁=c₁=f（2+4）=f（3）=a₃=2×3-1=5；
c₂=f（2²+4）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=2×1+1=3，
n≥3时，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）
=2（2^n-2+1）-1=2^n-1+1，
∴n≥2时，T_n=5+1+（2²+1）+（2³+1）+…+（2^n-1+1）
=1+2+2²+2³+…+2^n-1+n+1
=2ⁿ+n．
∴T_n=

5，n=1 2n+n，n≥2

故答案为：

5，n=1 2n+n，n≥2

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．