Question

某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示：

销售量P（件）	p=50-x
销售单价q（元/件）	当1≤x≤20时，q=30+ 1 2 x； 当21≤x≤40时，q=20+ 525 x

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）讨论x的取值范围，即可得到结论．
（2）根据条件建立函数关系式，即可求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）根据分段函数的性质，即可求出函数的最值．

解答： 解：（1）当1≤x≤20时，q=30+

1

2

x=35，解得：x=10，
当21≤x≤40时，q=30+

525

x

=35，解得：x=35，
∴第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件．
（2）当1≤x≤20时，y=（30+

1

2

x-20）（50-x）=-

1

2

x2+15x+500，
当21≤x≤40时，y=（20+

525

x

-20）（50-x）=

26250

x

-525，
∴y关于x的函数关系式为y=

- 1 2 x2+15x+500，1≤x≤20 26250 x -525，21≤x≤40

．
（3）当1≤x≤20时，y=-

1

2

x2+15x+500=-

1

2

（x-15）²+612.5，
∴当x=15时，y有最大值为612.5，
当21≤x≤40时，y=

26250

x

-525是减函数，
∴当x=21时，y有最大值为725，
∵725＞612.5，
∴这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大为725元．

点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用函数单调性的性质是解决本题的关键．