Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）已知{b_n}是等差数列，T_n为前n项和，且b₁=a₁，T₃=a₃．求{b_n}的通项公式，并证明：

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，可求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求出数列的公差，可得{b_n}的通项公式，利用裂项法求和，即可得出结论．

解答： 解：（1）因为a_n+1=3a_n，a₁=1，
因此{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）
所以a_n=3^n-1，S_n=

1

2

（3ⁿ-1）．…（6分）
（2）设等差数列{b_n}的公差为d，
依题意且b₁=a₁=1，T₃=a₃=9，
所以3+3d=9，故d=2．…（8分）
由此得，b_n=2n-1．…（10分）
所以，

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．
因此所证不等式成立．…（14分）

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．