Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

．
（1）求证：A、B、C三点共线；
（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，

π

2

]，f（x）=

OA

•

OC

+（2m+

1

3

）|

AB

|+m²的最小值为5，求实数m的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理证明

AC

∥

AB

即可；
（2）利用数量积运算和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵

AC

=

OC

-

OA

=

1

3

OA

+

2

3

OB

-

OA

=

2

3

(

OB

-

OA

)=

2

3

AB

∴

AC

∥

AB

，
又

AC

与

AB

有公共点A，故A、B、C三点共线．
（2）∵

OA

=(1，cosx)，

OB

=(1+sinx，cosx)，
∴

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

=(1+

2

3

sinx，cosx)，

AB

=

OB

-

OA

=(sinx，0)，
故 

OA

•

OC

=1+

2

3

sinx+cos2x，|

AB

|=

sin2x

=sinx，（x∈[0，

π

2

]）．
从而f(x)=

OA

•

OC

+(2m+

1

3

)|

AB

|+m2
=1+

2

3

sinx+cos2x+(2m+

1

3

)sinx+m2
=cos²x+（2m+1）sinx+1+m²
=-sin²x+（2m+1）sinx+2+m²
=-(sinx-

2m+1

2

)2+2m2+m+

9

4

，
关于sinx的二次函数的对称轴为sinx=

2m+1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴sinx∈[0，1]，又区间[0，1]的中点为

1

2

．
①当

2m+1

2

≤

1

2

，即m≤0时，当sinx=1时，f(x)min=m2+2m+2．
由f（x）_min=5得m=-3或m=1，又m≤0，∴m=-3；
②当

2m+1

2

＞

1

2

，即m＞0时，当sinx=0时，f(x)min=2+m2，
由f（x）_min=5得m=±

3

，又m＞0，∴m=

3

．
综上所述：m的值为-3或

3

．

点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．