Question

已知等差数列{a_n}中，前5项和前10项的和分别为25和100．数列{b_n}中，b_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+1．
（1）求a_n、b_n；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列前n项和公式求出首项和公差，由此能求出a_n=2n-1．由等比数列前n项和公式能求出b_n=2ⁿ．
（2）由T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，利用错位相减法能求出T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}中，前5项和前10项的和分别为25和100，
∴

5a1+ 5×4 2 d=25 10a1+ 10×9 2 d=100

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
b_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+1
=

1-2n

1-2

+1
=2ⁿ．
（2）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
∴T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．