Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=3，AA₁=4，E为AA₁的中点．
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）求点D₁到面BDE的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AC，BD交于点F，连结EF，由已知条件得A₁C∥EF，由此能证明A₁C∥平面BDE．       
（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D₁到面BDE的距离．

解答： 解：（Ⅰ）连结AC，BD交于点F，连结EF，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=3，
∴BD中点是F，
∵E是AA₁中点，∴A₁C∥EF，
∵A₁C不包含于平面BDE，EF?平面BDE，
∴A₁C∥平面BDE．       
（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AB=AD=3，AA₁=4，E为AA₁的中点．
∴B（3，0，0），D（0，3，0），E（0，0，2），D₁（0，3，4），
∴

BD

=（-3，3，0），

BE

=(-3，0，2)，
设平面BDE的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BD =-3x+3y=0 n • BE =-3x+2z=0

，取x=1，得

n

=（2，2，3），
∵

BD1

=（-3，3，4），
∴点D₁到面BDE的距离d=

| BD1 • n |

| n |

=

|-6+6+12|

4+4+9

=

12

17

17

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．