Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=

Sn

．已知数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（1）求数列{b_n}的通项公式．
（2）求数列{a_n}的通项公式．
（3）令c_n=

4

(an+1)(an+1+1)

，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把首项和公差代入等差数列的通项公式求出b_n；
（2）根据（1）和条件求出S_n，再由a_n与S_n的关系式，一定验证n=1时是否成立，再求出a_n；
（3）把（2）求出a_n代入cn=

4

(an+1)(an+1+1)

化简再进行裂项，由裂项相消法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由已知得数列{b_n}是等差数列且b₁=1，d=1，
∴b_n=b₁+（n-1）•d=1+（n-1）×1=n
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=n（n∈N^*）．…（2分）
（2）由b_n=

Sn

得n=

Sn

，∴Sn=n2，
∴当n=1时，a1=S1=12=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1①
当a₁=1时，也满足①式．
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*）．…（8分）
（3）由（2）得，a_n=2n-1，
cn=

4

(an+1)(an+1+1)

=

4

[(2n-1)+1]×[2(n+1)-1+1]

=

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

(n+1)

∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

1

-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题考查了等差数列的通项公式，数列的a_n与S_n的关系式应用，以及裂项相消法求数列{c_n}的前n项和，考查了转化思想、运算能力．