Question

设数列{a_n}的前项和为S_n，对于任意的正整数都有S_n=2a_n-5n．
（1）设b_n=a_n+5，求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前项和T_n；
（3）若Tn+λn-10(n-1)•2n-30≤0对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=2a_n-5n，得S_n-1=2a_n-1-5n+5．（n≥2），两式相减得a_n=2a_n-1+5，由此能证明数列{b_n}是首项为10，公比为2的等比数列，从而得到an=10×2n-1-5，n∈N^*．
（2）由na_n=10n×2^n-1-5n，利用错位相减法能求出数列{na_n}的前项和T_n．
（3）由Tn+λn-10(n-1)•2n-30≤0对一切正整数n都成立，得到λ≤

20

n

+

5n

2

+

5

2

，由此借助均值不等式能求出实数λ的取值范围．

解答： （1）证明：∵S_n=2a_n-5n，∴S_n-1=2a_n-1-5n+5．（n≥2），
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-5，
∴a_n=2a_n-1+5，
∴a_n+5=2（a_n-1+5），
又a₁=S₁=2a₁-5，解得a₁=5，a₁+5=10，
∵b_n=a_n+5，∴数列{b_n}是首项为10，公比为2的等比数列
∴b_n=a_n+5=10×2^n-1，
∴an=10×2n-1-5，n∈N^*．
（2）解：∵na_n=10n×2^n-1-5n，
∴T_n=10×1×2⁰+10×2×2+10×3×2²+…+10n×2^n-1-5（1+2+3+…+n），①
2T_n=10×1×2¹+10×2×2²+10×3×2³+…+10n×2ⁿ-10（1+2+3+…+n），②
①-②，得：-T_n=10+10（2+2²+…+2^n-1）-10n×2ⁿ-

5n(n+1)

2

=10+10×

2(1-2n-1)

1-2

-10n×2ⁿ+

5n(n+1)

2

=10（2ⁿ-n•2ⁿ-1）+

5n(n+1)

2

，
∴T_n=10（n-1）•2ⁿ+10-

5n(n+1)

2

．
（3）解：∵Tn+λn-10(n-1)•2n-30≤0对一切正整数n都成立，
∴10（n-1）•2ⁿ+10-

5n(n+1)

2

+λn-10（n-1）•2ⁿ-30≤0，
∴λn≤20+

5n2

2

+

5n

2

，∴λ≤

20

n

+

5n

2

+

5

2

，
∵

20

n

+

5n

2

+

5

2

≥2

20 n × 5n 2

+

5

2

，
当且仅当

20

n

=

5n

2

，n∈N^*，即n=3时，

20

n

+

5n

2

+

5

2

取最小值

20

3

+

15

2

+

5

2

=

50

3

，
∵Tn+λn-10(n-1)•2n-30≤0对一切正整数n都成立，
∴λ≤

50

3

，
∴实数λ的取值范围是（-∞，

50

3

]．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．