Question

如图，在直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面B₁DC．
（2）求AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用线面平行的判定，连接C₁B，C₁B∩B₁C=E，证明DE∥AC₁，从而AC₁∥平面B₁DC；
（2）先证明∠AC₁B即AC₁与平面B₁BCC₁所成角后，在Rt△AC₁B中计算．

解答： （1）证明：连接C₁B，C₁B∩B₁C=E，∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，E为C₁B的中点，
在△ABC₁中，D是AB的中点，∴DE∥AC₁，
DE?面B₁DC，AC₁?面B₁DC，∴AC₁∥平面B₁DC；
（2）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴BB₁⊥AB，∵∠ABC=90°，AB⊥BC，
BC∩BB₁=B，BC、BB₁?面B₁BCC₁，AB⊥面B₁BCC₁，
∴∠AC₁B即AC₁与平面B₁BCC₁所成角，
AB=BC=AA₁=2，在△BCC₁中，BC₁=2

2

，
在Rt△AC₁B中，tan=

AB

BC1

=

2

2

，
AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值为

2

2

．

点评：本题考查了线面平行即线面角的计算，考查空间想象能力，考查推理证明与运算能力，属于中档题．