Question

已知数列{a_n}满足a1=

5

2

，且an=

4an-1-1

an-1+2

（n∈N^*，且n≥2）
（Ⅰ）设bn=

1

an-1

，求证：{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设cn=(n+1)•3n•an，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出bn+1-bn=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

an-1

3(an-1)

=

1

3

，由此能证明{b_n}是等差数列．
（Ⅱ）由已知条件得an=

n+4

n+1

，从而cn=(n+1)•3n•

n+4

n+1

=(n+4)•3n，由此利用错位相减法能求出{c_n}的前n项和S_n．

解答： （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}满足a1=

5

2

，且an=

4an-1-1

an-1+2

，
bn=

1

an-1

，
∴bn+1-bn=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

4an-1 an+2

-

1

an-1

=…=

an-1

3(an-1)

=

1

3

，
∴{b_n}是等差数列
（Ⅱ）解：∵bn=b1+(n-1)d=

1

a1-1

+(n-1)

1

3

=

n+1

3

，
∴

1

an-1

=

n+1

3

，∴an=

n+4

n+1

，
∴cn=(n+1)•3n•

n+4

n+1

=(n+4)•3n
由错位相减法得：
Sn=5×31+6×32+7×33+…+(n+3)×3n-1+(n+4)×3n，①
3Sn=5×32+6×33+7×34+…+(n+3)×3n+(n+4)×3n+1，②
①-②，得：
-2Sn=5×3+32+33+34+…+3n-(n+4)×3n+1，
∴Sn=

2n+7

4

×3n+1-

21

4

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．