Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c均为实数，且a≠1，c≠0．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）设a=c=

1

2

，b_n=n（1-a_n），n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）若0＜a_n＜1对任意的n∈N^*成立，求证：0＜c≤1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得an+1-1=c(an-1)，n∈N*，由此能证明数列{a_n-1}是等比数列．
（2）由已知条件推导出bn=n(1-a)cn-1=n(

1

2

)n，由此利用错位相减法能求出S_n=2-

2+n

2n

．
（3）由（1）知an=(a-1)cn-1+1，由已知条件得0＜（1-a）c^n-1＜1．由此推导出c＞0．再用反证法证明c≤1．从而得到0＜c≤1．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），
∴an+1-1=c(an-1)，n∈N*，
又a≠1，则a-1≠0，…（2分）
∴

an+1

an-1

=c≠0，n∈N*，
∴数列{a_n-1}是等比数列．…（3分）
（2）由（1）得an-1=(a-1)cn-1，
即an=(a-1)cn-1+1，n∈N^*．…（4分）
∴bn=n(1-a)cn-1=n(

1

2

)n，…（5分）
∴S_n=

1

2

+2(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n，①

1

2

Sn=(

1

2

)2+2(

1

2

)3+…+n(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n（

1

2

）ⁿ⁺¹
=1-（

1

2

）ⁿ-n（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=2-（

1

2

）^n-1-n（

1

2

）ⁿ=2-

2+n

2n

．…（10分）
（3）由（1）知an=(a-1)cn-1+1，
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，则0＜（1-a）c^n-1＜1．
又0＜（1-a）＜1，故有0＜c^n-1＜

1

1-a

，n∈N^*，
由0＜c^n-1，n∈N^*，得c＞0．…（11分）
下证c≤1，用反证法
假设c＞1．由函数f（x）=c^x的图象值，当n趋于无穷大时，c^n-1趋于无穷大，
cn-1＜

1

1-a

，n∈N^*不能对恒成立，导致矛盾．
所以c≤1．
综上所述0＜c≤1．…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要注意错位相减法的合理运用．