Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（1，2），

n

=（cos2A，cos²

A

2

），且

m

•

n

=1．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=2a=2

3

，求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）利用向量的坐标和向量的数量积的运算求得关于cosA的一元二次方程求得cosA的值，则A可求得．
（2）根据已知条件利用余弦定理可求得a的值，b和c的关系，代入原式可求得b和c，进而判断出a=b=c，即三角形为等边三角形．

解答： 解：（1）由

m

=(1，2)，

n

=(cos2A，cos2

A

2

)，
得

m

•

n

=cos2A+2cos2

A

2

=2cos2A-1+cosA+1=2cos2A+cosA，
又因为

m

•

n

=1，
所以，2cos²A+cosA=1，解得cosA=

1

2

或cosA=-1，
因为0＜A＜π，
所以A=

π

3

，
（2）在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA且a=

3

所以，(

3

)2=b2+c2-2bc•

1

2

=b2+c2-bc①，
又b+c=2

3

，
∴b=2

3

-c，
代入①整理得c2-2

3

c+3=0，解得c=

3

，
∴b=

3

，
于是a=b=c=

3

，
即△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理的应用．作为解三角形重要定理，应该熟练记忆余弦定理及其变形公式．