Question

数列{a_n}的前n项和记为Sn，已知a₁=1，Sn=

n

n+2

an+1，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求数列{S_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

Sn+1

Sn

=

2(n+1)

n

，由此利用累积法能求出数列{S_n}的通项公式．
（Ⅱ）由Sn ═n•2^n-1．T_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，利用错位相减法能求出T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和记为Sn，a₁=1，
Sn=

n

n+2

an+1=

n

n+2

(Sn+1-Sn)，
∴

Sn+1

Sn

=

2(n+1)

n

，
∴Sn=S1×

S2

S1

×

S3

S2

×…×

Sn

Sn-1

=1×

2(1+1)

1

×

2(2+1)

2

×…×

2n

n-1

=n•2^n-1．
（Ⅱ）∵T_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n
∴T_n=1×2⁰+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
①-②，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2n
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．