Question

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求异面直线BD与CF所成角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用线面平行的判定；（2）向量法．

解答： （1）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中点，
∴AD∥GB，AD=GB，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB∥DG．
∵AB?平面DGE，DG?平面DEG，
∴AB∥平面DEG…7分
（2）解：∵EF⊥面AEB，AE?面AEB，BE?面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB∴EB，EF，EA两两垂直，
以E为坐标原点，EB，EF，EA分别为
x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由已知得，B（2，0，0），D（0，2，2），C（2，4，0），F（0，3，0），…8分

BD

=（2，0，0），

CF

=（-2，-1，0），∴cos＜

BD

，

CF

＞=

4-2

2 3 × 5

=

15

15

，
∴异面直线BD与CF所成角的余弦值

15

15

…14分

点评：本题考查线面平行的判定，考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．