Question

点A（1，1）在圆C：x²+y²-x+y+m=0的外部．
（1）求实数m的取值范围； 
（2）若m=-

1

4

，且过点A（1，1）的直线l被圆C截得的弦长为

2

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：（1）由已知条件得

1+1-4＞0 1+1-1+1+m＞0

，由此能求出m的取值范围．
（2）m=-

1

4

时，圆C：(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

3

4

，由此利用弦长公式能求出直线方程．

解答： 解：（1）∵点A（1，1）在圆C：x²+y²-x+y+m=0的外部，
∴

1+1-4＞0 1+1-1+1+m＞0

，
解得：-2＜m＜

1

2

，
∴m的取值范围是（-2，

1

2

）．…（4分）
（2）m=-

1

4

时，圆C：x2+y2-x+y-

1

4

=0，
即(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

3

4

，
当斜率不存在时，直线x=1满足题意．…（6分）
当斜率存在时，设直线方程为y-1=k（x-1），
由题意可知：圆心到直线kx-y-k+1=0的距离为

1

2

，…（8分）
∴

1

2

=

| 1 2 k+ 1 2 -k+1|

k2+1

，解得：k=

4

3

，
∴直线方程为4x-3y-1=0，…（11分）
综上：所求直线方程为x=1或4x-3y-1=0．…（12分）

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要注意直线的弦长公式和点到直线的距离公式的合理运用．