Question

如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．
（I）求证：BC⊥平面VAC；
（Ⅱ）若AC=1，求二面角M-VA-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面VAC．
（Ⅱ）分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-VA-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵VC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴VC⊥BC，
∵点C为⊙O上一点，且AB为直径，
∴AC⊥BC，
又∵VC，AC?平面VAC，VC∩AC=C，
∴BC⊥平面VAC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，
分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2

2

，0），

VA

=（1，0，-2），

AB

=(-1，2

2

，0)，
设平面VAC的法向量

m

=

CB

=（0，2

2

，0），
设平面VAM的法向量

n

=（x，y，z），
由

x-2z=0 -x+2 2 y=0

，取y=

2

，得

x=4 z=2

∴

n

=(4，

2

，2)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

4

2 2 × 16+2+4

=

11

11

，
∴二面角M-VA-C的余弦值为

11

11

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．