Question

如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODF，△ODE都是正三角形．
（1）证明：直线BC∥平面EFD；
（2）求异面直线OC与EF所成的角的余弦值；
（3）求二面角C-EF-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设G是线段DA与EB延长线的交点．由已知条件推导出OB

∥ .

.

1

2

DE，OC

∥ .

.

1

2

DF，从而BC∥EF，由此能证明BC∥平面EFD．
（2）以O₁为原点，O₁E为x轴，O₁D为y轴，O₁F为z轴，建立空间坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与EF所成的角的余弦值．
（3）求出平面CEF法向量和平面DEF的法向量，利用向量法能求出二面角C-EF-D的余弦值．

解答： （1）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点．
由于△OAB与△ODE都是正三角形，
∴OB

∥ .

.

1

2

DE，OG=OD=2，
同理，设G'是线段DA与FC延长线的交点，有OG'=OD=2．
又由于G和G'都在线段DA的延长线上，
∴G与G'重合．在△GED和△GFD中，
由OB

∥ .

.

1

2

DE和OC

∥ .

.

1

2

DF，
知B和C分别是GE和GF的中点，
∴BC是△GEF的中位线，
故BC∥EF．又BC?平面EFD，
∴BC∥平面EFD．
（2）解：如图，以O₁为原点，O₁E为x轴，O₁D为y轴，
O₁F为z轴，建立空间坐标系，
则C(0，-

3

2

，

3

2

)，D（0，1，0），
E(

3

，0，0)，F(0，0，

3

)，
∴

OC

=(0，-

1

2

，

3

2

)，

EF

=(-

3

，0，

3

)
∴cos?

OC

，

EF

＞=

3 2 × 3

1× 3+3

=

3 2

1× 6

=

6

4

∴异面直线OC与EF所成的角的余弦值为

6

4

．
（3）证明：∵

CE

=(

3

，

3

2

，-

3

2

)，

CF

=(0，

3

2

，

3

2

)，
设平面CEF法向量为

n1

=(x1，y1，z1)
∴

n1 • CE = 3 x1+ 3 2 y1- 3 2 z1=0 n1 • CF = 3 2 y1+ 3 2 z1=0

，
令y₁=1，得

n1

=(

3

，1，-

3

)
同理可得平面DEF的法向量

n2

=(1，

3

，1)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

3 + 3 - 3

7 × 5

=

105

35

，
∴二面角C-EF-D的余弦值为-

105

35

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．