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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    甲乙两人进行掰手腕比赛，比赛规则规定三分钟为一局，三分钟内不分胜负为平局，当有一人3局就结束比赛，否则继续进行，根据以往经验，每乙甲胜的概率为
    1
    2
    ，乙胜的概率为
    1
    3
    ，且每局比赛胜负互不受影响．
    （Ⅰ）求比赛4局乙胜的概率；
    （Ⅱ）求在2局比赛中甲的胜局数为ξ的分布列和数学期望；
    （Ⅲ）若规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，比赛进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行，求甲得7分的概率．
    考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式
    专题：概率与统计
    分析：（I）4局乙胜，即4局中乙3胜，且第4局为胜，由此能求出比赛4局乙胜的概率．
    （II）ξ取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
    （Ⅲ）甲若得7分，至少进行4局或5局比赛，且最后一局甲赢，由此能求出甲得7分的概率．
    解答： （本小题满分为10分）
    解：（I）由已知甲赢的概率为
    1
    2
    ，平的概率为
    1
    6
    ，输的概率为
    1
    3
    ，
    由已知乙赢的概率为
    1
    3
    ，平的概率为
    1
    6
    ，输的概率为
    1
    2
    ，…．（2分）
    4局乙胜，即4局中乙3胜，且第4局为胜
    所求的概率为
    C
    2
    3
    (
    1
    3
    )2(
    1
    6
    )(
    1
    3
    )    +
    C
    2
    3
    (
    1
    3
    )2(
    1
    2
    )(
    1
    3
    )    =
    2
    27
    ．…（5分）
    （II）ξ取0，1，2
    P（ξ=0）=(
    1
    3
    )2+(
    1
    6
    )2
    +C
    1
    2
    (
    1
    3
    )(
    1
    6
    )    =
    1
    4
    ，
    P（ξ=1）=
    C
    1
    2
    (
    1
    2
    )(
    1
    3
    )+
    C
    1
    2
    (
    1
    2
    )(
    1
    6
    )    =
    1
    2
    ，
    P（ξ=2）=（
    1
    2
    ）2=
    1
    4
    ，…（7分）
    ξ012
    P
    1
    4
    1
    2
    1
    4
    Eξ=0×
    1
    4
    +1×
    1
    2
    +2×
    1
    4
    =1．…（8分）
    （Ⅲ）甲若得7分，至少进行4局或5局比赛，且最后一局甲赢，
    设比赛进行4局事件为P（A），比赛进行5局事件为P（B），
    P（A）=
    C
    1
    3
    (
    1
    6
    )(
    1
    2
    )2(
    1
    2
    )=
    1
    16
    ，
    P（B）=
    C
    1
    4
    (
    1
    2
    )(
    1
    6
    )3(
    1
    2
    )    +
    C
    1
    3
    (
    1
    3
    )
    C
    1
    4
    (
    1
    6
    )(
    1
    2
    )2(
    1
    2
    )=
    19
    216
    ，
    所以p=P（A）+P（B）=
    65
    432
    ．…（10分）
    点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．
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    a
    =（cosx，1），
    b
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    π
    3
    ），-1）
    （Ⅰ）若
    a
    ∥
    b
    ，求x的值；
    （Ⅱ）设f（x）=
    a
    •
    b
    ，x∈（0，
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    2
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    3
    2
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    1
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    1
    4
    ，且过点A（1，1）的直线l被圆C截得的弦长为
    		2
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    3π
    2
    )•cos(π+a)
    sin(a-
    3π
    2
    )•cos(a+
    π
    2
    )•tan(a-3π)
    ．
    （1）化简f（α）；
    （2）已知cos（
    3π
    2
    -α）=
    1
    5
    ，求f（α）的值．

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