Question

已知命题p：“直线x+y-a=0与圆（x-1）²+y²=1有公共点”，命题q：函数f（x）=ax²+ax+1没有零点，若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：当p为真命题时，联立

x+y-a=0 (x-1)2+y2=1

，则2x²-2（a+1）x+a²=0有实数根，可得△≥0，解出即可；当q为真命题时，分类讨论：当a=0时，方程无实根符合题意；当a≠0时，△＜0解得a的取值范围．由命题p∧q为假命题，p∨q为真命题可知，命题p与命题q有且只有一个为真．即可得出．

解答： 解：当p为真命题时
由

x+y-a=0 (x-1)2+y2=1

，则2x²-2（a+1）x+a²=0，
∴△=4（a+1）²-8a²≥0
∴1-

2

≤a≤1+

2

．
当q为真命题时，
①当a=0时，方程无实根符合题意；
②当a≠0时，△=a²-4a＜0解得0＜a＜4，
∴0≤a＜4．
由命题p∧q为假命题，p∨q为真命题可知，命题p与命题q有且只有一个为真．
当p真q假时，

1- 2 ≤a≤1+ 2 a＜0或a≥4

，∴1-

2

≤a＜0；
当p假q真时   

a＜1- 2 或a＞1+ 2 0≤a＜4

，∴1+

2

＜a＜4．
综合得：1-

2

≤a＜0或1+

2

＜a＜4．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系、函数的零点、复合命题真假的判定，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．