Question

已知f(x)=a1x+a2x2+…+anxn_  且a₁，a₂…a_n构成一个数列，又f（1）=n²
①求数列{a_n}的通项公式
②证明f(

1

3

)＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：①由f（1）=n²，可得S_n=n²，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式
②利用错位相减法求和，即可证明结论．

解答： ①解：∵f（1）=n²，
∴S_n=n²，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
n=1时，结论也成立，
∴通项an=2n-1 (n∈N*)
②证明：f(

1

3

)=1•

1

3

+3•

1

9

+5•

1

27

+…+(2n-3)•

1

3n-1

+(2n-1)•

1

3n

则有

1

3

f(

1

3

)=1•

1

9

+3•

1

27

+5•

1

81

+…+(2n-3)•

1

3n

+(2n-1)

1

3n+1

两式相减得

2

3

f(

1

3

)=1•

1

3

+2•

1

9

+2•

1

27

+…+2•

1

3n

-(2n-1)•

1

3n+1

∴f( 1 3 )= 1 2 + 1 3 + 1 9 + 1 27 +…+ 1 3n-1 -(2n-1)• 1 2•3n = 1 2 + 1 3 [1-( 1 3 )n-1] 1- 1 3 -(2n-1)• 1 2•3n = 1 2 + 1 2 - 3 2•3n - 2n-1 2•3n =1- n+1 3n

∵3ⁿ=（1+2）ⁿ＞1+2n＞1+n（n∈N^*），∴0＜

n+1

3n

＜1，
∴1-

n+1

3n

＜1，即f(

1

3

)＜1．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查错位相减法，正确求出数列的通项是关键．