Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且数列{S_n}是以2为公比的等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求a₁+a₃+…+a_2n+1．

Answer 1

分析：（I）由题设条件知S_n=2^n-1．由此可知an=

1(n=1) 2n-2(n≥2).

（II）由题设条件知a₃，a₅，…，a_2n+1是以2为首项，以4为公比的等比数列，由此可求出a₁+a₃+…+a_2n+1的值．

解答：解：（I）∵S₁=a₁=1，且数列{S_n}是以2为公比的等比数列，
∴S_n=2^n-1．（2分）
又当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-2（2-1）=2^n-2．（5分）
∴an=

1(n=1) 2n-2(n≥2).

（7分）
（II）a₃，a₅，…，a_2n+1是以2为首项，以4为公比的等比数列，（9分）
∴a3+a5+…+a2n+1=

2(1-4n)

3

．（11分）
∴a₁+a₃+…+a_2n+1=1+

2(4n-1)

3

=

22n+1+1

3

．（13分）

点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细计算．