Question

已知tanα=

3

，求

sin(α+nπ)cos(α-nπ)

sin(α+nπ)+sin(α-nπ)

(n∈Z)的值．

Answer 1

分析：分别看看当n为偶数和奇数时，利用诱导公式对原式进行化简整理，然后利用同角三角函数的基本关系和tanα的值求得cosα的值，代入原式即可求得答案．

解答：解：根据题意，分2种情况讨论：
①当n=2k时，原式=

sin(α+2kπ)cos(α-2kπ)

sin(α+2kπ)+sin(α-2kπ)

=

sinαcosα

sinα+sinα

=

cosα

2

，
由tanα=

3

，得sinα=

3

cosα，又sin²α+cos²α=1，解得cosα=±

1

2

，
∴原式=±

1

4

②当n=2k+1时，原式=

sin(α+2kπ+π)cos(α-2kπ-π)

sin(α+2kπ+π)+sin(α-2kπ-π)

=

sin(α+π)cos(α-π)

sin(α+π)+sin(α-π)

=

sin(α+π)cos(π-α)

sin(α+π)-sin(π-α)

=

(-sinα)•(-cosα)

-sinα-sinα

=-

cosα

2

，
由（1）得，原式=±

1

4

．
∴原式=±

1

4

．

点评：本题主要考查了运用诱导公式的化简求值．解题的过程中一定要注意对三角函数的正负值的判定．