【题目】已知函数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)求函数在上的最值;
(3)当时,若函数
恰有两个不同的零点
,
,求
的取值范围.
【答案】(1)在
上单调递减,在
上单调递增 (2)见解析; (3)
【解析】
(1)根据二次函数以及一次函数的性质求出函数的单调区间即可;
(2)通过讨论a的范围求出函数的最小值和最大值即可;
(3)求出的根,求
的表达式,得到其范围即可.
解:(1)当时,
时,函数
的对称轴是
,开口向上,
故在
上单调递减,在
上单调递增.
(2),
当时,
的对称轴是
,
∴在
递减,在
递增,
而,
如图所示:
∴,
,
当时,对称轴
,
,
故在
递减,在
递增,,且对称轴
更接近
如图所示:
∴,最大值
,
当时,对称轴
,
,
故在
递减,在
递增,且对称轴
更接近
如图所示
∴,
,
当时,
在
上单调递减,
故,
(3)
当时,令
,可得
,
(因为,所以
舍去)
所以,
在上是减函数,所以
.
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【题目】如图,已知是椭圆
的左焦点,且椭圆
经过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点的直线
交椭圆
于
、
两点,线段
的中点为
,过
且与
垂直的直线与
轴和
轴分别交于
、
两点,记
、
的面积分别为
、
.若
,求直线
的方程.
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【题目】已知命题:“双曲线
任意一点
到直线
的距离分别记作
,则
为定值”为真命题.
(1)求出的值.
(2)已知直线 关于y轴对称且使得
上的任意点到
的距离
满足
为定值,求
的方程.
(3)已知直线是与(2)中某一条直线平行(或重合)且与椭圆
交于
两点,求
的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,且曲线
与
恰有一个公共点.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)已知曲线上两点
,
满足
,求
面积的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,
,
是曲线段
:
(
是参数,
)的左、右端点,
是
上异于
,
的动点,过点
作直线
的垂线,垂足为
.
(1)建立适当的极坐标系,写出点轨迹的极坐标方程;
(2)求的最大值.
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【题目】已知数列、
满足
,其中
数列
的前
项和,
(1)若数列是首项为
.公比为
的等比数列,求数列
的通项公式;
(2)若,
求证:数列
满足
,并写出
的通项公式;
(3)在(2)的条件下,设,求证
中任意一项总可以表示成该数列其它两项之积.
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,曲线
的参数方程为:
(
为参数),
,
为直线
上距离为
的两动点,点
为曲线
上的动点且不在直线
上.
(1)求曲线的普通方程及直线
的直角坐标方程.
(2)求面积的最大值.
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【题目】农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为____;若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为____.
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【题目】如图,直三棱柱ABC﹣A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明:MN∥平面A′ACC′;
(2)若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角,求λ的值.
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