【题目】在平面直角坐标系中,
,
是曲线段
:
(
是参数,
)的左、右端点,
是
上异于
,
的动点,过点
作直线
的垂线,垂足为
.
(1)建立适当的极坐标系,写出点轨迹的极坐标方程;
(2)求的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据的参数方程可得直角坐标方程
,求出端点
,
,求在
处的切线斜率为和与
轴的交点坐标,由垂直关系得
的轨迹是以线段
为直径的
圆弧(不含端点),由此建立极坐标系,得出极坐标方程.
(2)设直线与以
为圆心,
为半径的圆交于两点
,
,则根据半径相等,由相交弦定理,得
,代入
,即可得出最大值.
解:(1)如图,曲线段即为抛物线上一段
,
端点,
,
在处的切线斜率为
,与
轴的交点坐标为
.
因为,所以
的轨迹是以线段
为直径的
圆弧(不含端点),
以线段的中点
为极点,射线
为极轴,建立极坐标系,
则点轨迹的极坐标方程为
.
(2)设直线与以
为圆心,
为半径的圆交于两点
,
,
则,
由相交弦定理,得
,
当,即
时,
最大,最大值为
.
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【题目】如题所示:扇形ABC是一块半径为2千米,圆心角为60°的风景区,P点在弧BC上,现欲在风景区中规划三条三条商业街道PQ、QR、RP,要求街道PQ与AB垂直,街道PR与AC垂直,直线PQ表示第三条街道。
(1)如果P位于弧BC的中点,求三条街道的总长度;
(2)由于环境的原因,三条街道PQ、PR、QR每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元,问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到1万元)
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【题目】在棱长为2的正方体中,点
是对角线
上的点(点
与
、
不重合),则下列结论正确的个数为( )
①存在点,使得平面
平面
;
②存在点,使得
平面
;
③若的面积为
,则
;
④若、
分别是
在平面
与平面
的正投影的面积,则存在点
,使得
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图1,在等腰梯形中,两腰
,底边
,
,
,
是
的三等分点,
是
的中点.分别沿
,
将四边形
和
折起,使
,
重合于点
,得到如图2所示的几何体.在图2中,
,
分别为
,
的中点.
(1)证明:平面
.
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
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【题目】在一个半圆中有两个互切的内切半圆,由三个半圆弧围成曲边三角形,作两个内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块,阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的,由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子,他称此为“皮匠刀定理”,如图,若,则阴影部分与最大半圆的面积比为( )
A.B.
C.D.
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【题目】已知双曲线:
(
),直线
:
,
与
交于P、Q两点,
为P关于y轴的对称点,直线
与y轴交于点
;
(1)若点是
的一个焦点,求
的渐近线方程;
(2)若,点P的坐标为
,且
,求k的值;
(3)若,求n关于b的表达式.
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