Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）探究函数f（x）=ax+

b

x

（a、b是正常数）在区间（0，

b a

）和（

b a

，+∞）上的单调性（只需写出结论，不要求证明）．并利用所得结论，求使方程f（x）-log₄m=0有解的m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）为偶函数，得f（x）=f（-x），代入后整理得x=-2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的最值；
（2）函数f（x）=ax+

b

x

=x+

b a

x

，由“对勾函数”的单调性得到结论函数f（x）=ax+

b

x

（a、b是正常数）在区间(0，

b a

)上为减函数，在区间(

b a

，+∞)上为增函数．求出函数f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x的值域后把方程f（x）-log₄m=0有解转化为log₄m≥log₄2，从而求得m的取值范围．

解答： 解：（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）．
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx．
即log₄

4x+1

4-x+1

=-2kx，
log₄4^x=-2kx，
∴x=-2kx对一切x∈R恒成立．
∴k=-

1

2

；
（2）结论：函数f（x）=ax+

b

x

（a、b是正常数）在区间(0，

b a

)上为减函数，在区间(

b a

，+∞)上为增函数．
由f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x=log₄

4x+1

2x

=log₄（2^x+

1

2x

）．
设u=2^x+

1

2x

，又设t=2^x，则u=t+

1

t

，
由定理，知u=t+

1

t

在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴u_min=u（1）=2，
∵y=log₄x为增函数，
由题意，只须log₄m≥log₄2，即m≥2．
故要使方程f（x）-log₄m=0有解，m的取值范围为m≥2．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于把方程f（x）-log₄m=0有解转化为log₄m≥log₄2，是中档题．