Question

【题目】如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．

（1）求证：PA∥平面QBC；
（2）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：过点Q作QD⊥BC于点D，

∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，

又∵PA⊥平面ABC，

∴QD∥PA，又∵QD平面QBC，PA平面QBC，

∴PA∥平面QBC．

（2）解：方法一：∵PQ⊥平面QBC，

∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，

∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．

∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，

∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，

∴四边形PADQ是矩形．

设PA=2a，

∴ ，PB=2 a，∴ ．

过Q作QR⊥PB于点R，

∴QR= = ，

= = ，

取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，

∵PR= ， ，∴MA∥RN．

∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．

∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．

连接QN，则QN= = = ．又 ，

∴cos∠QRN= = = ．

即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为 ．

方法二：∵PQ⊥平面QBC，

∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，

∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．

∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．

∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，

∴四边形PADQ是矩形．

分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．

不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），

设平面QPB的法向量为 ．

∵ =（1，1，0）， =（0，2，﹣2）．

∴ 令x=1，则y=z=﹣1．

又∵平面PAB的法向量为 ．

设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|= = =

又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角

∴ ．

【解析】（1）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（2）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出．方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．