Question

【题目】已知数列的前项和为，满足，．数列满足，，且．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，，使，，（）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）不存在

【解析】试题分析：（1）根据和项与通项关系得递推关系，结合等比数列定义可得通项公式，先对条件变形得新数列为一个等差数列，根据等差数列通项公式得的通项公式；（2）先根据错位相减法求出，化简可得恒成立，再根据数列单调性可得最小值为零，即得实数的取值范围；（3）先根据条件化简得，再利用奇偶分析法研究方程解的情况.

试题解析：（1）当时，，所以．

当时，，，

两式相减得，

从而数列为首项，公比的等比数列，

从而数列的通项公式为．

由两边同除以，

得

从而数列为首项，公差的等差数列，所以，

从而数列的通项公式为．

（2）由（1）得，

于是，

所以

两式相减得，

所以，

由（1）得，

因为对 ，都有，

即恒成立，

所以恒成立，

记，

所以，

因为 ，

从而数列为递增数列，所以当时取最小值，

于是．

（3）假设存在正整数（），使成等差数列，则，

即 ，

若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立.

若为奇数，设，则，

于是，即，

当时，，此时与矛盾；

当时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.

综上所述，满足条件的实数对不存在．