Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD＝BC＝2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO＝60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点．

(Ⅰ)证明：PD⊥AC；

(Ⅱ)求二面角A－PB－D的大小；

(Ⅲ)若DM∶MP＝k，则当k为何值时直线PD⊥平面ACM？

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD， 　　∴DO为DP在平面ABCD内的射影．　　　　1分 　　又∵AC⊥BD， 　　∴AC⊥PD．　　　　3分 　　(Ⅱ)方法1： 　　过O作ON⊥PB于N，连结AN． 　　∵PO⊥平面ABCD， 　　又AO平面ABCD， 　　∴PO⊥AO．　　　　4分 　　由已知AO⊥BD，BD∩PO＝O， 　　∴AO⊥平面PBD．　　　　5分 　　∴ON为AN在平面PBD内的射影， 　　∴PB⊥AN． 　　∴∠ANO为二面角A－PB－D的平面角．　　　　6分 　　在Rt△AOD中，AO＝1． 　　∵PO⊥平面ABCD， 　　∴OA为PA在底面ABCD内的射影． 　　∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，∠PAO＝60°．　　7分 　　∴在Rt△POA中，PO＝． 　　∵四边形ABCD为等腰梯形， 　　∴△ABD≌△BAC， 　　∴∠ABD＝∠BAC， 　　∴OA＝OB＝1．　　　　8分 　　在Rt△POB中，PB＝2． 　　∴ON＝． 　　在Rt△AON中， 　　tan∠ANO＝．　　　　9分 　　∴二面角A－PB－D的大小为arctan．　　　　10分 　　方法2： 　　如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．　　　　4分 　　A(0，－1，0)，B(1，0，0)， 　　P(0，0，)，O(0，0，0)．　　　　5分 　　，，．　　　　6分 　　∵PO⊥平面ABCD， 　　又AO平面ABCD， 　　∴PO⊥AO． 　　由已知AO⊥BD，BD∩PO＝O， 　　∴AO⊥平面PBD． 　　∴为平面PBD的法向量．∴＝．　　　　7分 　　设为平面PAB的法向量． 　　则，　　　　8分 　　，令，则．　　　　9分 　　， 　　∴二面角A－PB－D的大小为arccos．　　　　10分 　　(Ⅲ)当DM∶MP＝1时，直线PD⊥平面ACM．　　　　11分 　　∵PO⊥平面ABCD， 　　∴OA为PRA在底面ABCD内的射影． 　　∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，∠PAO＝． 　　又∵在Rt△AOD中，∠DAO＝60°， 　　∴Rt△AOD≌Rt△AOP． 　　∴AD＝AP． 　　∵PM＝MD， 　　∴PD⊥AM．　　　　13分 　　由(Ⅰ)可知PD⊥AC． 　　∵AMAC＝A， 　　∴直线PD⊥平面ACM．　　　　14分