Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=1-

1

2

an(n∈N*)
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{b_n}的通项公式b_n=2n-1，记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）再写一式，两式相减，即可证得数列{a_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{C_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=1-

1

2

a1，∴a1=

2

3

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=1-

1

2

an-1+

1

2

an-1，
∴

3

2

an=

1

2

an-1，∴

an

an-1

=

1

3

∴数列{a_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列
∴an=

2

3

×(

1

3

)n-1=

2

3n

．…（6分）
（Ⅱ）∵cn=(2n-1)•

2

3n

，∴Tn=2[1×

1

3

+3×

1

32

+…+(2n-1)×

1

3n

]．①
∴

1

3

Tn=2[1×

1

32

+3×

1

33

+…+(2n-1)×

1

3n+1

]．②
①-②，得

2

3

Tn=2[

1

3

+

2

32

+…+

2

3n

-(2n-1)×

1

3n+1

]．
∴

2

3

Tn=2[

1

3

+2•

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-(2n-1)•

1

3n+1

]．
∴Tn=2-

2n+2

3n

（n∈N^*）．…（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．