【题目】如图，在三棱柱
中，侧面
是菱形，
，
是棱
的中点，
，
在线段
上，且
.
（1）证明：
面
；
（2）若
，面
面，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接
交
于点
，连接
，利用三角形相似证明
，然后证明
面
．
（2）过
作
于
，以为原点，
，
，
分别为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标，
不妨设
，求出面
的一个法向量，面
的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．
解：（1）连接交于点，连接．
因为
，所以
，又因为
，所以
，所以，
又
面，
面，所以面.
（2）过作于，因为
，所以是线段
的中点．
因为面
面
，面
面
，所以
面．连接
，
因为
是等边三角形，是线段的中点，所以
.
如图以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标，
不妨设，则
，
，
，
，
，
由
，得
，
的中点
，
，
.
设面的一个法向量为
，则
，即
，
得方程的一组解为
，即
.
面的一个法向量为
，则
，
所以二面角
的余弦值为.
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
： 
的左、右焦点分别为
， 
，且离心率为
， 
为椭圆上任意一点，当
时， 
的面积为1.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知点
是椭圆
上异于椭圆顶点的一点，延长直线
， 
分别与椭圆交于点
， 
，设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求证： 
为定值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】试题分析：（1）设
由题
，由此求出
,可得椭圆
的方程；
（2）设
， 
，
当直线
的斜率不存在时，可得
；
当直线
的斜率不存在时，同理可得
.
当直线
、
的斜率存在时，
，
设直线
的方程为
，则由
消去
通过运算可得
，同理可得
，由此得到直线
的斜率为
，
直线
的斜率为
，进而可得
.
试题解析：（1）设由题
，
解得
，则
，
椭圆
的方程为
.
（2）设
， 
，
当直线
的斜率不存在时，设
，则
，
直线
的方程为
代入
，可得
，
， 
，则
，
直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
，
当直线
的斜率不存在时，同理可得
.
当直线
、
的斜率存在时，，
设直线
的方程为
，则由
消去
可得：
，
又
，则
，代入上述方程可得
，
，则
，
设直线
的方程为
，同理可得
，
直线
的斜率为
，
直线
的斜率为
，
.
所以，直线
与
的斜率之积为定值
，即
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数
， 
，在
处的切线方程为
.
（1）求
， 
；
（2）若方程
有两个实数根
， 
，且
，证明： 
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知曲线
：
（
为参数）和曲线
:
(
为参数).
（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若上的点
对应的参数为
，
为上的动点，求
中点
到直线
：
（为参数）距离的最小值及此时点的坐标.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】下列五个命题不正确的是________.
①若等比数列
的公比
，则数列单调递增.
②常数列既是等差数列又是等比数列.
③在
中，角ABC所对的边分别为a，b，c，若
则
且
.
④在中，若
，则为锐角三角形.
⑤等比数列的前n项和为
，对任意正整数m，则
，
，
，…仍成等比数列.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：
（1）直线A1E∥平面ADC1；
（2）直线EF⊥平面ADC1．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系中，已知圆
的方程为
，圆
的方程为
，动圆
与圆内切且与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹
的方程；
(2)已知
与
为平面内的两个定点，过
点的直线
与轨迹交于
,
两点，求四边形
面积的最大值.
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