Question

13．已知曲线M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点是曲线N：y²=8x的焦点F，两曲线交点为P、Q，若$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{FQ}$，则曲线M的实轴长为4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，可得c=2，设出P的坐标，运用抛物线的定义，可得P的坐标，代入双曲线的方程，解得a，进而得到双曲线的实轴长．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点F（2，0），准线为x=-2，
由题意可得c=2，
$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{FQ}$，则P，F，Q共线，设P（2，n），代入y²=8x，可得n=±4
将P（2，±4）代入双曲线的方程，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{16}{{b}^{2}}$=1，且a²+b²=4，
解得a=2$\sqrt{2}$-2，
即有双曲线的实轴长为2a=4$\sqrt{2}$-4．
故答案为：4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查双曲线的实轴长，注意运用抛物线的定义、方程和性质，点满足双曲线方程，考查运算能力，属于中档题．