Question

15．已知命题p：关于实数x的方程4x²-4mx+m²-1=0的一根比1大另一根比1小；命题q：函数f（x）=2^x-1-m在区间（2，+∞）上有零点．
（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．
（2）当命题P为真时，实数m的取值集合为集合M，若命题：?x∈M，x²-ax+1≤0为真，则求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q成立时的m的范围；（1）通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可；（2）问题转化为a≥x+$\frac{1}{x}$在x∈（1，3）恒成立，求出其最大值即可．

解答 解：∵命题p：关于实数x的方程4x²-4mx+m²-1=0的一根比1大另一根比1小，
∴4-4m+m²-1＜0，解得：1＜m＜3；
∵命题q：函数f（x）=2^x-1-m在区间（2，+∞）上有零点，
∴2^2-1-m＜0，解得：m＞2；
（1）命题p：1＜m＜3．命题q：m＞2，
由题意知，命题p、q应一真一假，
即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得：m≥3或1＜m≤2；
（2）当命题P为真时，实数m的取值集合为集合M，
则M=（1，3），
若命题：?x∈M，x²-ax+1≤0为真，
即a≥x+$\frac{1}{x}$在x∈（1，3）恒成立，
而x+$\frac{1}{x}$的最大值是$\frac{10}{3}$，
故a≥$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题以及二次函数和指数函数的性质，是一道中档题．