Question

已知函数f(x)=e^x-x-1(x＞0),g(x)=·e^x(x＞0).

(1)求证:当a≥1时对于任意正实数x,f(x)的图象总不会在g(x)的图象的上方;

(2)对于在(0,1)上的任意a值,问是否存在正实数x使得f(x)＞g(x)成立?如果存在,求出符合条件的x的一个取值;否则,请说明理由.

Answer 1

(1)证明:在x＞0时,要证f(x)的图象总不会在g(x)的图象的上方,

即证f(x)≤g(x)成立;要证e^x-x-1≤·e^x成立;只需证e^x≤·e^x+x+1,即需证1≤+.①

令y(x)=+,∴y′(x)=ax+=ax+.

∴y′(x)=x(a).

又∵a≥1,x＞0,故y′(x)≥0.

∴y(x)是增函数,故y(x)≥y(0)=1,从而①式成立.

∴f(x)≤g(x)成立;

所以当a≥1时对于任意正实数x,f(x)的图象总不会在g(x)的图象的上方.

(2)解:将f(x)＞g(x)(x＞0),即e^x-x-1＞·e^x,

变形为+-1＜0.②

要找一个x＞0,使得②式成立,只需找到函数t(x)=+-1的最小值,满足t(x)_min＜0即可,对于t(x)求导数t′(x)=x(a).

令t′(x)=0得e^x=,则x=-lna.在0＜x＜-lna时,t′(x)＜0;

在x＞-lna时,t′(x)＞0;t(x)在x=-lna时,取最小值.t(-lna)=(lna)²+a(-lna+1)-1,

下面只需证明(lna)²+a(-lna+1)-1＜0在0＜a＜1时恒成立即可.

又令p(a)=(lna)²+a(-lna+1)-1,对p(a)关于a求导数,则p′(a)=(lna)²≥0,

从而p(a)为增函数,则p(a)＜p(1)=0,从而(lna)²+a(-lna+1)-1＜0(0＜a＜1),

于是t(x)的最小值t(-lna)＜0,因此可以找到一个常数x=-lna(0＜a＜1)使得②式成立.