Question

5．随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下2×2列联表：

	读营养说明	不读营养说明	合计
男	16	4	20
女	8	12	20
合计	24	16	40

（1）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是否读营养说明之间有关系”？
（2）从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （1）求出k2，然后判断性别与是否读营养说明之间是否有关系．
（2）判断ξ的取值为0，1，2．求出概率，然后得到分布列，求解期望即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）因为${K^2}=\frac{{40{{（16×12-4×8）}^2}}}{20×20×24×16}=6.67＞6.635$，（3分）
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“性别与是否读营养说明之间有关系”．（5分）
（2）由题意ξ的取值为0，1，2．（6分）
因为$P（ξ=0）=\frac{{C_{12}^2}}{{C_{16}^2}}=\frac{11}{20}$，$P（ξ=1）=\frac{{C_{12}^1C_4^1}}{{C_{16}^2}}=\frac{2}{5}$，$P（ξ=2）=\frac{C_4^2}{{C_{16}^2}}=\frac{1}{20}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P（ξ）	$\frac{11}{20}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{20}$

（9分）
所以ξ的数学期望为$Eξ=0×\frac{11}{20}+1×\frac{2}{5}+2×\frac{1}{20}=\frac{1}{2}$．（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，对立检验的应用，考查计算能力．