Question

16．已知数列{a_n}满足S_n=2n-a_n+1（n∈N^*）
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式确定出a₁，a₂，a₃，a₄，归纳总结猜想出通项公式a_n即可；
（2）当n=1时，结论成立，假设n=k时，结论成立，推理得到n=k+1时，结论成立，即可得证．

解答 解：（1）根据数列{a_n}满足S_n=2n-a_n+1（n∈N^*），
当n=1时，S₁=a₁=2-a₁+1，即a₁=$\frac{3}{2}$；
当n=1时，S₂=a₁+a₂=4-a₂+1，即a₂=$\frac{7}{4}$；
同理a₃=$\frac{15}{8}$，a₄=$\frac{31}{16}$，
由此猜想a_n=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）；
（2）当n=1时，a₁=$\frac{3}{2}$，结论成立；
假设n=k（k为大于等于1的正整数）时，结论成立，即a_k=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}$，
那么当n=k+1（k大于等于1的正整数）时，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1，
∴2a_k+1=2+a_k，
∴a_k+1=$\frac{2+{a}_{k}}{2}$=$\frac{2+\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}}{2}$=$\frac{{2}^{k+2}-1}{{2}^{k+1}}$，即n=k+1时，结论成立，
则a_n=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．

点评 此题考查了数学归纳法，以及归纳推理，熟练掌握数学归纳法证明的步骤是解本题的关键．