Question

设函数f（x）=ln（x+a）+x²(a＞

2

)，
（1）若a=

3

2

，解关于x不等式f(e

x

-

3

2

)＜ln2+

1

4

；
（2）证明：关于x的方程2x²+2ax+1=0有两相异解，且f（m）和f（n）分别是函数f（x）的极小值和极大值（m，n为该方程两根，且m＞n）．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可求得不等式的解集；
（2）依题意，f（x）的定义域为（-a，+∞），构造函数g（x）=2x²+2ax+1，利用判别式即可确定方程2x²+2ax+1=0有两相异解，再研究函数的单调性，从而可证f（m）为f（x）的极小值，f（n）为f（x）的极大值．

解答：（1）解：a=

3

2

时，求导函数可得f′(x)=

2x2+3x+1

x+ 3 2

=

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

．  （2分）
f（x）的定义域为（-

3

2

，+∞）．      （3分）
当-

3

2

＜x＜-1时，f'（x）＞0；当-1＜x＜-

1

2

时，f'（x）＜0；当x＞

1

2

时，f'（x）＞0．
从而，f（x）在（-

3

2

，-1），（-

1

2

，+∞）单调增加，在（-1，-

1

2

）单调减少．（5分）
∵e

x

-

3

2

≥ -

1

2

，f（

1

2

）=

1

4

+ln2
∴不等式f(e

x

-

3

2

)＜ln2+

1

4

等价于e

x

-

3

2

＜

1

2

∴e

x

＜2= eln2
∴0≤x＜ln²2
即所求不等式的解集为{x|0≤x＜ln²2}．（7分）
（2）证明：依题意，f（x）的定义域为（-a，+∞），---（8分）
令g（x）=2x²+2ax+1，因为g（-a）=1=g（0）＞0，g（x）的对称轴为x=-0.5a＞-a，
△=4a²-8a＞0（a²＞2），g（-a）=1＞0
∴g（x）在（-a，+∞）有两个零点．即方程2x²+2ax+1=0有两相异解------（11分）
由已知f（x）的定义域为{x|x＞-a}且f′(x)=2x+

1

x+a

=

2x2+2ax+1

x+a

---（11分），
若m，n（m＞n）方程2x²+2ax+1=0有两相异解，则f'（x）＞0的解集为（-a，n）∪（m，+∞）（∵a＞0）（12分）

x	（-a，n）	n	（n，m）	m	（m，+∞）
y’	+	0	-	0	+
y	增	极大值	减	极小值	增

故f（m）为f（x）的极小值，f（n）为f（x）的极大值，（14分）

点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查解不等式，考查函数的极值，解题的关键是利用导数确定函数的单调性．