Question

设函数f（x）=ln（x+a）+x²
（I）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（II）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln

e

2

．

Answer 1

分析：（I）先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，f′（-1）=0，代入可求a，代入a的值，分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．
（II）由题意可得在区间（-a，+∞）上，f′（x）=0有根，结合一元二次方程根的存在情况讨论该方程的△=4a²-8，求a的取值范围，结合a的取值，把极值点代入函数f（x）可得，f(x1)+f(x2)=ln

1

2

+a2-1＞1+ln

1

2

=ln

e

2

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+a

+2x，
依题意有f'（-1）=0，故a=

3

2

．
从而f′(x)=

2x2+3x+1

x+ 3 2

=

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

．
f（x）的定义域为(-

3

2

，+∞)，当-

3

2

＜x＜-1时，f'（x）＞0；
当-1＜x＜-

1

2

时，f'（x）＜0；
当x＞-

1

2

时，f'（x）＞0．
从而，f（x）分别在区间(-

3

2

，-1)，(-

1

2

，+∞)单调增加，在区间(-1，-

1

2

)单调减少．

（Ⅱ）f（x）的定义域为（-a，+∞），f′(x)=

2x2+2ax+1

x+a

．
方程2x²+2ax+1=0的判别式△=4a²-8．
（ⅰ）若△＜0，即-

2

＜a＜

2

，在f（x）的定义域内f'（x）＞0，故f（x）的极值．
（ⅱ）若△=0，则a-

2

或a=-

2

．
若a=

2

，x∈(-

2

，+∞)，f′(x)=

( 2 x-1)2

x+ 2

．
当x=

2

2

时，f'（x）=0，
当x∈(-

2

，

2

2

)∪(

2

2

，+∞)时，f'（x）＞0，所以f（x）无极值．
若a=-

2

，x∈(

2

，+∞)，f′(x)=

( 2 x-1)2

x- 2

＞0，f（x）也无极值．
（ⅲ）若△＞0，即a＞

2

或a＜-

2

，则2x²+2ax+1=0有两个不同的实根x1=

-a- a2-2

2

，x2=

-a+ a2-2

2

．
当a＜-

2

时，x₁＜-a，x₂＜-a，从而f'（x）有f（x）的定义域内没有零点，
故f（x）无极值．
当a＞

2

时，x₁＞-a，x₂＞-a，f'（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，
由根值判别方法知f（x）在x=x₁，x=x₂取得极值．
综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为(

2

，+∞)．
f（x）的极值之和为f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)+

x

2 1

+ln(x2+a)+x22=ln

1

2

+a2-1＞1-ln2=ln

e

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题时若含有参数，要对参数的取值进行讨论，而分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用．