Question

设函数f（x）=ln（x+a）+2x²．
（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值；
（2）在（1）的条件下，方程ln（x+a）+2x²-m=0恰好有三个零点，求m的取值范围；
（3）当0＜a＜1时，解不等式f（2x-1）＜lna．

Answer 1

分析：（1）把-1代入导函数对应的方程即可．
（2）转化为两个函数有三个不同的交点即可，y=m须位于极大值和极小值之间．
（3）先把lna转化为f（0），在利用条件把变量转化到同一单调区间内，利用单调性解题即可．

解答：解：∵f（x）=ln（x+a）+2x²．∴f'（x）=

1

x+a

+4x
（1）由f'（-1）=

1

-1+a

-4=0⇒a=

5

4

所以a的值为

5

4

．

（2）由（1）得f'（x）=

1

x+ 5 4

+4x=

(4x+1)(x+1)

x+ 5 4

，又因为x+

5

4

＞0，
所以f'（x）＞0⇒x＞-

1

4

，f'（x）＜0⇒-

5

4

x＜-1，
故f（x）的极大值为f（-

1

4

）=

1

4

，极小值为f（-1）=2+ln

1

4

，
ln（x+a）+2x²-m=0恰好有三个零点须有2+ln

1

4

＜m＜

1

4

，
故m的取值范围是（2+ln

1

4

，

1

4

）．

（3）因为f'（x）=

1

x+a

+4x=

4x2+4ax+1

x+a

，
且f'（x）=0⇒x₁=

-a+ a2+1

2

＞0，x₂=

-a- a2+1

2

＜-a，
故f（x）在（-a，0）上递减．又f（0）=lna．所以f（2x-1）＜lna⇒2x-1＞0⇒x＞

1

2

所以不等式f（2x-1）＜lna的解集是{x|x＞

1

2

}．

点评：本题考查利用极值求对应参数的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．