Question

设函数f(x)=

(1)试判断函数f(x)的单调性，并给出证明；

（2）解关于x的不等式f［x(x-1)］＜.

Answer 1

解：（1）定义域中的x必须满足

解得-1＜x＜1.

∴函数f(x)的定义域为（-1，1）.

任取-1＜x₁＜x₂＜1，则

f(x₂)-f(x₁)

=(

∵-1＜x₁＜x₂＜1,

∴＜0,(1-x₂)(1+x₁)＞0,

(1+x₂)(1-x₁)＞0,

(1-x₂)(1+x₁)-(1+x₂)(1-x₁)=2(x₁-x₂)＜0.

∴0＜＜1.

从而lg＜0.

于是，f(x₂)-f(x₁)＜0，即f(x₂)＜f(x₁).故函数f(x)在（-1，1）上是减函数.

（2）∵f(0)=,∴f［x(x-1)］＜f(0).

又∵f(x)在(-1,1)上单调递减，∴0＜x(x-1)＜1.

解得＜x＜0或1＜x＜.

故所求不等式的解集是（，0）∪(1,).