Question

10．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠BAD=$\frac{π}{3}$．
（1）求证：BC∥平面AED；
（2）求证：AC⊥面BDEF；
（3）若BF=BD=a，求四棱锥A-BDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）ABCD是菱形，可得BC∥AD，即可证明BC∥平面AED；
（2）证明AC⊥BD，ED⊥AC，即可证明AC⊥面BDEF；
（3）证明△ABD为等边三角形，利用棱锥的体积公式求四棱锥A-BDEF的体积．

解答 （1）证明：∵ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∵BC?面ADE，AD?面ADE，
∴BC∥面ADE；
（2）证明：连接AC，AC∩BD=O
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵ED⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴ED⊥AC，
∵ED∩BD=D，
∴AC⊥面BDEF；
（3）解：∵ABCD是菱形，∠BAD=$\frac{π}{3}$，
∴△ABD为等边三角形，
∵BF=BD=a，
∴AD=a，AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴四棱锥A-BDEF的体积=$\frac{1}{3}{S}_{BDEF}•AO$=$\frac{1}{3}•{a}^{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^{3}$．

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查四棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．