Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：PB⊥AD；
（Ⅱ）若PB=$\sqrt{6}$，求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中点O，连接OP，OB，证明AD⊥平面OPB，即可证明PB⊥AD；
（Ⅱ）证明OP⊥平面CBD，利用等体积求点C到平面PBD的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取AD的中点O，连接OP，OB，则
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA，∠BAD=60°，
∴OP⊥AD，OB⊥AD，
∵OP∩OB=O，
∴AD⊥平面OPB，
∵PB?平面OPB，
∴PB⊥AD；
（Ⅱ）解：∵PA=PD=DA=2，
∴OP=OB=$\sqrt{3}$，
∵PB=$\sqrt{6}$，
∴OP²+OB²=PB²，
∴OP⊥OB，
∵OP⊥AD，AD∩OB=O，
∴OP⊥平面CBD，
△PBD中，PD=BD=2，PB=$\sqrt{6}$，∴S_△PBD=$\frac{1}{2}•\sqrt{6}•\sqrt{4-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
设点C到平面PBD的距离为h，则$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{15}}{2}h$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•4•\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题．