Question

9．设x＞0，y＞0，求证：$\frac{x^2}{x+y}$≥$\frac{3x-y}{4}$．

Answer 1

分析 通过作差、整理可知$\frac{x^2}{x+y}$-$\frac{3x-y}{4}$=$\frac{（x-y）^{2}}{4（x+y）}$，利用x＞0、y＞0可知4（x+y）＞0、（x-y）²≥0，进而可得结论．

解答 证明：$\frac{x^2}{x+y}$-$\frac{3x-y}{4}$=$\frac{4{x}^{2}-（x+y）（3x-y）}{4（x+y）}$
=$\frac{4{x}^{2}-（3{x}^{2}+3xy-xy-{y}^{2}）}{4（x+y）}$
=$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{4（x+y）}$
=$\frac{（x-y）^{2}}{4（x+y）}$，
∵x＞0，y＞0，
∴4（x+y）＞0，（x-y）²≥0，
∴$\frac{（x-y）^{2}}{4（x+y）}$≥0，即$\frac{x^2}{x+y}$≥$\frac{3x-y}{4}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用作差法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．