Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的实轴长为6，抛物线y²=20x的准线经过双曲线左焦点，过原点的直线与双曲线左、右两支分别交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的任一点，当k_PA，k_PB存在时，k_PA•k_PB的值为（　　）

• A． $\frac{16}{9}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{9}{16}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由题意求出双曲线方程，设出A、B、P的坐标，把点的纵坐标用横坐标表示，写出直线的斜率，代入整理得答案．

解答 解：由题意知：2a=6，a=3，
∵抛物线y²=20x的准线方程为x=-5，∴c=5，则b²=c²-a²=25-9=16．
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
由题意设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x₀，y₀），
则${{y}_{1}}^{2}=\frac{16}{9}（{{x}_{1}}^{2}-9），{{y}_{0}}^{2}=\frac{16}{9}（{{x}_{0}}^{2}-9）$，
∵${k}_{PA}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}，{k}_{PB}=\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，
∴k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{16}{9}（{{x}_{0}}^{2}-9）-\frac{16}{9}（{{x}_{1}}^{2}-9）}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=\frac{16}{9}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了设而不求的解题思想方法，是中档题．