Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=2x²+3，f（x+1）-f（x-1）=2x-1，若f（t-1）、1、f（t）成等差数列，则t的值为________．

Answer 1

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分析：在f（x+1）-f（x-1）=2x-1中，以x代x-1，得出f（x+2）-f（x）=2（x+1）-1=2x+1与f（x）+f（x+2）=2x²+3联立，求出f（x）=x²-x+1，再利用等差数列性质列出关于t的方程并解即可．
解答：在f（x+1）-f（x-1）=2x-1中，以x代x-1，得出f（x+2）-f（x）=2（x+1）-1=2x+1①
又f（x）+f（x+2）=2x²+3 ②两式相减得：f（x）=x²-x+1
∵f（t-1）、1、f（t）成等差数列，∴f（t-1）+f（t）=2，代入得（t-1）²-3（t-1）+1+t²-3+1=2，化简整理得t²-2t+1=0，t=1
故答案为：1
点评：本题考查函数解析式求解：换元法，方程组法．等差数列的性质，考查计算、代换能力．