Question

20．已知数列$\frac{1}{1×4}，\frac{1}{4×7}，\frac{1}{7×10}，…，\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$，…，的前n项和为S_n．
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄的值，并推测S_n的公式；
（2）用数学归纳法证明S_n的公式．

Answer 1

分析 （1）由题意得S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．猜想猜想S_n=$\frac{n}{3n+1}$，n∈N^_*，
（2）用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设S_k=$\frac{k}{3k+1}$，则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立．

解答 解：（1）S₁=$\frac{1}{4}$，S₂=$\frac{2}{7}$，S₃=$\frac{3}{10}$，S₄=$\frac{4}{13}$；  
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1．
于是推测S_n=$\frac{n}{3n+1}$，n∈N^_*，
（2）证明：①当n=1时，左边=$\frac{1}{4}$，右边=$\frac{1}{4}$，猜想成立．
②假设n=k（k∈N^*）时，猜想成立，即S_k=$\frac{k}{3k+1}$．
那么当n=k+1时，S_K+1=S_k+$\frac{1}{（3k+1）（3k+4）}$=$\frac{k}{3k+1}$+$\frac{1}{（3k+1）（3k+4）}$=$\frac{1}{3k+1}$（k+$\frac{1}{3k+4}$）=$\frac{1}{3k+1}$•$\frac{3{k}^{2}+4k+1}{3k+4}$=$\frac{1}{3k+1}$•$\frac{（3k+1）（k+1）}{3k+4}$=$\frac{k+1}{3（k+1）+1}$
所以当n=k+1时，猜想也成立．
根据①②，可知猜想对任何n∈N^*时都成立．

点评 本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：①检验n=1成立②假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．