Question

【题目】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线相交于两点.设直线是抛物线的切线，且直线为上一点，且的最小值为.

（1）求抛物线的方程；

（2）设是抛物线上，分别位于轴两侧的两个动点，为坐标原点，且.求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析，.

【解析】

（1）依题意，设出M、N坐标及直线的方程为，代入抛物线方程，可得根与系数关系，设直线和抛物线相切于点，由题意和切线的几何意义知，曲线在处的切线斜率为1，因此得，可得切线的方程，设出P点坐标，代入化简并求得最小值为可解出p，即可求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（2）直线的斜率一定存在，设的方程为，代入y2=4x，利用韦达定理结合，求出b，即可证明直线l必过一定点，并求出该定点．

(1)依题意，直线的方程为.

设,

将直线的方程代入中，

得，

因此.

设直线和抛物线相切于点，

由题意和切线的几何意义知，曲线在处的切线斜率即导数为1，

因此得，

切点的坐标为，

因此切线的方程为.

设，

于是

将，代入其中，

可得.

当时，取得最小值，

由，

可解得正数值为2，

因此所求的抛物线方程为.

（2）显然，直线的斜率一定存在，

设的方程为，，

则，

故，

也即，①

将代入抛物线中，

得，

故.

将它们代入到①中，得，

解得，

因此直线恒过点.